数学の散歩道
〜あなたが知りたい数学の世界へようこそ〜

この数学の本は関数論をベースに気ままに数学の周辺を散歩できるように書かれた資料です。
目  次・・・PDF(ダウンロード)
※各章のPDFをクリックしていただくと詳しい内容をご覧いただけます。
 第6章と第7章は2ページずつ並べてご覧ください。


第一章 複素関数・・・PDF(ダウンロード)P1〜P11
§1 複素関数とは?
複素関数の写像の様子から中学生が習う反比例のグラフや高校生が習う双曲線が同時に登場します。
また正接の加法定理を用いて,複素関数の等角性と正則性の2つの性質を
コーシー・リーマンの方程式で結びつけます。

§2 複素関数の周期
実軸または虚軸に平行な帯に対して周期をもつ関数の存在を明らかにします。
改めて複素 関数の写像の様子に目を肥やすとともに
両方の軸に対して 周期をもつ楕円関数の存在を予 兆してもらいます。

§3 複素線積分
複素線積分をグリーンの定理などを用いて様々な角度から計算するとともに,
極や原始 関数に依存した積分値を考察しコーシーの積分定理を中心として複素線積分の特徴を掴 みます。

第二章 リーマン面・・・PDF(ダウンロード)P12〜P43
§1 多価関数とリーマン面
多価関数の具合例を提示します。
またその多価関数を1価関数にするために考案されたリーマン面を豊富な図で段階を追って説明します。
同相なリーマン面でも構造が違うも のがあることや種数が異なる
リーマン面とそれに対応する関数をじっくりと鑑賞していきます。

§2 積分の多価性
積分の多価性は微分形式による解析的要因が生み出すものと
リーマン面による位相的な 要因が生み出すものがあることを紹介します。
特にガウスが研究した楕円積分の多価性に対してはトーラスを切り開くことによる 計算法を紹介しながら楕円関数の導入を行います。発展的な内容として超楕円積分の具体例を豊富に記します。
種数3以上に対する 立体の展開図や立体図形の上で、積分計算を行う様子は 複素関数論に対する読者の興味を深めるでしょう。


第三章 楕円積分の標準形・・・PDF(ダウンロード)P44〜P77
§1 楕円積分の標準形の導出
楕円積分の標準形の導出を3段階にわけて解説します.霧に覆われた森の中の長い散策の向こうに
美しい数学の湖が現れます。次々と繰り出される置換積分の技巧は眼を見張るものがあります。

§2 リーマン変換
難解かつ長かった森の中の散策はリーマン変換により大変短時間で同じ結果に辿り着くことが出来ます。
天才リーマン先生の思想の中では楕円積分の標準形はノート1頁に納まっていることでしょう。

第四章 レムニスケート関数・・・PDF(ダウンロード)P78〜P117
§1 レムニスケート関数
レムニスケート曲線の長さを求めることから様々な数学が展開されていきました。
曲線の長さを求める公式を見直しながら楕円関数の導入を行います。

§2 加法定理の予測
ガウスが残した数学に対しての所見を再現します。
ガウスが辿った道は帰納的な手法であり、その手法によって
加法定理が創造されていく様子からは数学を組み立てる面白さが十分に伝わってくるでしょう。
三角関数・双曲線関数・ガウスの楕円関数の3つの関数の関連性やテクニカルな数式変形が飛び出します。

§3 加法定理の証明
ガウスの言葉に従って指数関数・三角関数における加法定理の証明の見直しを検討します。
変数分離形の等式ではの記号が自由に動き回る理由を解明し加法定理の証明に重要となる微分方程式を自然に導きます.加法定理の証明を微分方程式の任意定数の一意性で証明するという意外性は数学が醸し出す分野ごとの素晴らしい結びつきの具体例として感動を与えることでしょう。

§4 複素変数への拡張
恒等式の考え方はこのような場面で威力を発揮します。
加法定理を用いて歴史上初めて発見 されたガウスの楕円関数を完成させます。

第二章§2で検討した積分の多価性の結果と一致する場面や
正方形が単位円に写像される場面を目撃することになるでしょう。

§5 リーマンの写像定理
放物幾何学,双曲幾何学,楕円幾何学の3つの幾何における三角形分割と楕円関数の関連性 をまとめると同時にガウスの楕円関数が放物幾何学における三角形分割を実現していることを学びます。鏡像の原理の有効性を体験できるでしょう。

第五章 ヤコビの楕円関数(前編)・・・PDF(ダウンロード)P118〜P146
§1 ヤコビの楕円関数
第一種楕円積分の逆関数であるヤコビの楕円関数の導入を行います。この楕円関数には,の3つの関数が登場します。特にこの関数達に関連した積分表示について詳細 に記述します。レムニスケート関数で扱ったものとは異なるアプローチをします。

§2 加法定理の証明
の加法定理の証明からは楕円関数の芳香な気高さを,また相互関係を用いて導出される 残りの2つの楕円関数加法定理を導く過程からは楕円関数の美しい気品を、さらに3つの楕円 関数の加法定理の別表記からは楕円関数の対称性の神秘を味わうことが出来ます。

§3 楕円関数の力学系への応用
単振子の周期を求める微分方程式を媒介変数の導入して数学的に求めます。
揺れが小さい場合 これを解く過程の見直しにより「力学的エネルギー保存の法則」が自然に導かれることをみます.

§4 加法定理の幾何学的証明
単振子でも結果を利用して楕円関数の加法定理を図形的に導出するという難解な課題に挑みます。
四段階に分けて繰り広げられる論理の展開から加法定理が出現する様は
これを完成させた人に幾何学的力量の凄さに圧巻されるばかりです。

第六章 ヤコビの楕円関数(後編)・・・PDF(ダウンロード)P147〜P173
§5 ヤコビの楕円関数の周期
ヤコビの虚数変換を主役にヤコビの楕円関数を複素関数に拡張しその周期を探ります。
虚数変 換という置換そのものが楕円関数の虚数変換に対応しているという不思議な現象を詳細に解説 します。

§6 ヤコビの楕円関数の正則性
楕円関数が複素関数として動き始める第一歩はその正則性にあります。
指数関数とは違いその 正則性の証明には,1つの数式がノート2頁に渡って書かれるという楕円関数の計算の凄味が あります。決して破たんすることのない神秘性を感じながらテータ関数につながる計算力 身に付けます.

§7 積分の多価性と周期
§2,§5,§6の内容はリーマン面上でも積分を考えることにより短的に処理されてしまいます。
レムニスケート関数同様に周期性の一致に注目して下さい。

§8 楕円関数の一般論
リュービルの第一定理,第二定理,第三定理,第四定理の証明を通して複素関数論でおなじみの
最大絶対値の原理・グールサの定理・モレラの定理など定理の必要性と関連性を学びます。

第七章 テータ関数・・・PDF(ダウンロード)P174〜P237
§1 テータ関数の構成
数学の天才リーマンが編み出したテータ関数を構成します。
どの部分が凄い関数なのか? 受験数学では決して体験できない数学の手法を紹介します。

§2 ヤコビの楕円関数とテータ関数
ヤコビの楕円関数をテータ関数で表現します。4つのテータ関数全てを1回ずつ使用して、ヤコビの楕円関数が表記されるところは数学の美しさを感じさせられます。

§3 三角関数諸公式
テータ関数の加法定理は三角関数のそれを拡張したものです。
テータ関数には5つの表記 法があることをみました。
三角関数との対応を試みるため、三角関数の諸公式を復習すると同時に
三角関数の無限乗積展開・部分分数展開を通して複素関数の数々の技巧を味わいます。

§4 テータ関数の加法定理
1つの加法定理を証明するのに5段階のステップに分けて解説をします。
三角関数の加法 定理は2変数で実現されています。
これを一般化して4変数の加法定理はどうなるのか?
という疑問を解決してくれるのがテータ関数でありその手法を詳細に示します
次々と 繰り出すリーマンの加法定理はこの資料の貴公子です。
締めくくりにはリーマンの加法定 理から私が導いた派生公式を200以上掲載します

第八章 多変数のテータ関数・・・PDF(ダウンロード)P238〜P245
テータ関数は多変数になったとき本当の美しい姿を現します。
その関数の中では今までの散歩で見てきた数学の景色が1つに結びつきます。
すなわち代数・幾何・解析の3つの分野が交差します。
特にリーマン面上の積分の結果が行列と結びつきしかも関数に組み込まれるという事
実は読者に大きな感動を与えることでしょう。しかもその行列には驚くべき性質があります。
数学の散歩道のファイナルを飾るこの章でガウスのいう数学における分野ごとの
結びつきの素晴らしさの一端をじっくりと味わってください。
 

数学の散歩道
〜超楕円積分とテータ関数の基礎的考察〜

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